Nguồn gốc của phương trình Navier - Stokes gắn liền với việc xem xét các lực tác dụng lên các phần tử chất lưu, vì vậy một đại lượng gọi là tensor ứng suất xuất hiện một cách tự nhiên trong phương trình động lượng Cauchy. Nhưng bởi vì việc thực hiện toán tử div đối với tensor này, thông thường chỉ viết ra phương trình đã được đơn giản hóa hoàn toàn, cho nên sự xuất hiện ban đầu của tensor ứng suất sẽ biến mất.

Tuy nhiên, tensor ứng suất vẫn có một số ứng dụng quan trọng, đặc biệt là trong việc xây dựng công thức của các điều kiện biên tại các mặt biên của chất lưu. Nhắc lại rằng σ = − π I + τ {\displaystyle \sigma =-\pi I+{\boldsymbol {\tau }}} , đối với một chất lưu Newton, tensor ứng suất là:

σ i j = − p δ i j + μ ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i ) + δ i j λ ∇ ⋅ u . {\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\delta _{ij}\lambda \nabla \cdot \mathbf {u} .}

Nếu chất lưu được giả định là không nén được, tensor được đơn giản hoá đáng kể. Ví dụ, trong hệ Descartes 3 chiều:

σ = − ( p 0 0 0 p 0 0 0 p ) + μ ( 2 ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x ∂ u ∂ z + ∂ w ∂ x ∂ v ∂ x + ∂ u ∂ y 2 ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z + ∂ w ∂ y ∂ w ∂ x + ∂ u ∂ z ∂ w ∂ y + ∂ v ∂ z 2 ∂ w ∂ z ) = − p I + μ ( ∇ u + ( ∇ u ) T ) = − p I + 2 μ e {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}&\displaystyle {{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}}&\displaystyle {{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}}&2\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}&\displaystyle {{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}}&\displaystyle {{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}}&2\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}\\&=-pI+\mu (\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T})=-pI+2\mu e\\\end{aligned}}}

e {\displaystyle e} là tensor tốc độ biến dạng, theo định nghĩa:

e i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i ) . {\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right).}